day7

day7 - 千锤百炼

动态规划(DP)

洛谷P1115(必做)

最大子段和

题目描述

给出一个长度为 $n$ 的序列 $a$，选出其中连续且非空的一段使得这段和最大。

输入格式

第一行是一个整数，表示序列的长度 $n$。

第二行有 $n$ 个整数，第 $i$ 个整数表示序列的第 $i$ 个数字 $a_i$。

输出格式

输出一行一个整数表示答案。

样例 #1

样例输入 #1

7
2 -4 3 -1 2 -4 3

样例输出 #1

4

提示

样例 1 解释

选取 $[3, 5]$ 子段 ${3, -1, 2}$，其和为 $4$。

数据规模与约定

• 对于 $40%$ 的数据，保证 $n \leq 2 \times 10^3$。
• 对于 $100%$ 的数据，保证 $1 \leq n \leq 2 \times 10^5$，$-10^4 \leq a_i \leq 10^4$。

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1. 一般做法(穷举)

2. 动态规划

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洛谷2196(选做)

简单背包问题

01背包

[NOIP2005 普及组] 采药

题目描述

辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”

如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？

输入格式

第一行有 $2$ 个整数 $T$（$1 \le T \le 1000$）和 $M$（$1 \le M \le 100$），用一个空格隔开，$T$ 代表总共能够用来采药的时间，$M$ 代表山洞里的草药的数目。

接下来的 $M$ 行每行包括两个在 $1$ 到 $100$ 之间（包括 $1$ 和 $100$）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。

输出格式

输出在规定的时间内可以采到的草药的最大总价值。

样例 #1

样例输入 #1

70 3
71 100
69 1
1 2

样例输出 #1

3

提示

【数据范围】

• 对于 $30%$ 的数据，$M \le 10$；
• 对于全部的数据，$M \le 100$。

【题目来源】

NOIP 2005 普及组第三题

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
	int n,c,w[105],v[105],dp[105][1005];
	
	memset(dp,0,sizeof(dp));//初始值
	
	cin>>c>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cin>>w[i]>>v[i];
	
	for(int i=1;i<=n;i++) // i，在i件商品下 
		for(int j=1;j<=c;j++) // j，循环的背包的容量 
			if(w[i]<=j) // 装的下 
				dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);// 在装和不装之间选大的 
			else //装不下 
				dp[i][j] = dp[i-1][j];
	
//	for(int i=1;i<=n;i++){
//		for(int j=1;j<=c;j++)
//			cout<<setw(6)<<dp[i][j];
//		cout<<endl;
//	}
	
	cout<<dp[n][c];
	
	return 0;
}

变式题:

P1060 [NOIP2006 普及组] 开心的金明

P1049 [NOIP2001 普及组] 装箱问题

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进阶题：P1507 NASA的食物计划

NASA的食物计划

题目背景

NASA（美国航空航天局）因为航天飞机的隔热瓦等其他安全技术问题一直大伤脑筋，因此在各方压力下终止了航天飞机的历史，但是此类事情会不会在以后发生，谁也无法保证。所以，在遇到这类航天问题时，也许只能让航天员出仓维修。但是过多的维修会消耗航天员大量的能量，因此 NASA 便想设计一种食品方案，使体积和承重有限的条件下多装载一些高卡路里的食物。

题目描述

航天飞机的体积有限，当然如果载过重的物品，燃料会浪费很多钱，每件食品都有各自的体积、质量以及所含卡路里。在告诉你体积和质量的最大值的情况下，请输出能达到的食品方案所含卡路里的最大值，当然每个食品只能使用一次。

输入格式

第一行 $2$ 个整数，分别代表体积最大值 $h$ 和质量最大值 $t$。

第二行 $1$ 个整数代表食品总数 $n$。

接下来 $n$ 行每行 $3$ 个数 体积 $h_i$，质量 $t_i$，所含卡路里 $k_i$。

输出格式

一个数，表示所能达到的最大卡路里（int 范围内）

样例 #1

样例输入 #1

320 350
4
160 40 120
80 110 240
220 70 310
40 400 220

样例输出 #1

550

提示

对于 $100%$ 的数据，$h,t,h_i,t_i \le 400$，$n \le 50$，$k_i \le 500$。

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
int f[401][401];
int main(){
	int n,v,m,i,j,a[401],b[401],c[401],k;
	scanf("%d%d%d",&v,&m,&n);
	for(i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d%d%d",&a[i],&b[i],&c[i]);
	for(i=1;i<=n;i++)
	  for(j=v;j>=a[i];j--)	
	    for(k=m;k>=b[i];k--)
	      f[j][k]=max(f[j][k],f[j-a[i]][k-b[i]]+c[i]);
	printf("%d",f[v][m]);      
	return 0;
}